0 前言

     五軸加工在三軸加工基礎上增加了兩個旋轉軸，從（cóng）而使加工方式更加靈活，材料去除率更高，加工時間更短，可以處理更為複（fù）雜的工件[1-2]。但是旋轉軸的運動也使刀具姿態控製更（gèng）為複雜，從而引入許多五軸加工所（suǒ）特有的問題[3-4]。奇（qí）異點問題就是其中重要的一個。當刀具通過奇異點（diǎn）附近區域(本文稱奇（qí）異區域)時，旋轉軸會產生不（bú）連（lián）續並且急速的轉動，這大大增加了非線性（xìng）誤差，同時極易破壞工件，甚至損傷機床部件[5-6]。因此，對奇異（yì）區域內的刀具路徑進行優（yōu）化處理，對於提高加工精度和加工效率至關重要。

     AFFOUARD 等[6]提出（chū）通過多項（xiàng）式插補修改刀具路徑來避開奇異位置，但（dàn）是插補算法複雜，計算上代（dài）價較大。MUNLIN 等[7-8]通過選擇奇異點（diǎn）附近旋轉軸運動的（de）最短路徑來減小誤差，但該方法在選（xuǎn）擇轉角取值時，考慮的是相鄰點轉角變（biàn）化量的相對值最小，而相（xiàng）鄰點之（zhī）間轉角變化量的絕對值可能較大，出現這樣（yàng）的情況時（shí）誤差仍然較大（dà）。SORBY[9]提出的（de）方法是在奇異點附（fù）近插入刀位（wèi）點，同時修改C軸轉角，避免加工通過奇異點時誤差過大，但由於之前沒有對奇異區域的範圍進行檢測，因此當刀具穿過奇異區域卻不經過奇異點時，加工（gōng）精度不夠理想。王丹等[10]給出的通用的五軸加工非線性誤差控製算法也可以運用到奇異區域（yù）的處理上，但由於單純采用線性插值，使奇異區（qū）域內的（de）加工速度大大降低（dī），而且（qiě）插值過密容易導（dǎo）致機（jī）床頻繁地做加減速（sù）運動，易引起（qǐ）刀具顫振（zhèn）。

     針（zhēn）對以上問題，本文在前（qián）人研究的基礎上，以AC 雙（shuāng）轉台五軸機床為例，給出一種將優化C 軸轉角(簡（jiǎn）稱C 角)、修改刀軸方向、遞歸線性插值三者結（jié）合的刀具路徑優化算法，從而在提高（gāo）奇異區（qū）域內加工精（jīng）度的同時，保證速度（dù）盡量快、加工更平穩。

1 五軸機床的運動學方程

     1.1 AC 雙轉台五軸機床正（zhèng）向反向運動學變換本文以AC 雙轉台五軸機（jī）床作為研究對象(圖1)。首先（xiān）根據其機床結構和運動鏈建立（lì）機床正向運動學方程（chéng）。設工件坐標係坐標原點為Ow，工（gōng）件坐標係下（xià）的刀具位置矢量為pw=(xw yw zw)T，刀（dāo）具（jù）方向矢量為uw=(i j k) T；機床坐標係原點（diǎn）為Om，機床線性軸運（yùn）動矢量為pm=(xm ym zm)T，機床旋轉軸為A 和C，對應的機（jī）床轉角分別為α 和γ。

根據圖1 所示的運動鏈，AC 雙轉台五軸機床的正（zhèng）向運動（dòng）學方程如下.

      由（yóu）式(3)計算（suàn）出的原始C 角在(–π, π]之（zhī）間。由表1 可知，如（rú）果相鄰點（diǎn）之間i 或j 的方向發生變（biàn）化（huà），C角可（kě）能會發生劇烈變化。例如第n 點刀軸方向為 (0.100 0, –0.100 0, 0.989 9)，第n+1 點的（de）刀軸方向為 (–0.100 0, –0.100 0, 0.989 9)，直接依據式(3)計算出來的C角分別為3/ 4π 和−3/ 4π ，相距3/ 2π 。由（yóu）式 (4)～(7)可知，線（xiàn）性軸的取值與旋轉軸有關，C 角變化劇烈（liè）會導致線性軸變化劇烈（liè），從而產生（shēng）較大的誤差。因此需要（yào）對原（yuán）始的C 角進行修正。由於正弦（xián）函數和（hé）餘弦函數都以2π 為周期，因此利用這一特性在反解三角（jiǎo）函數（shù）的過程中修改C 角的取值

     式中 n 1 γ + ′ ——修改後的第n+1 點的C 角取值n 1 γ + ——修改前的第n+1 點的C 角取值n γ ——修改前的第n 點的（de）C 角取值經過這樣（yàng）處理後，加工路徑（jìng）上Δγ ( n 1 n γ γ + − )都（dōu）不超（chāo）過π ，過大轉角得到初步（bù）控製。對於（yú）AC 雙轉（zhuǎn）台五軸機床來說（shuō），C 軸對線性軸的影響大，A 軸（zhóu）較小[11]。因此隻需（xū）要對（duì）C 角進行優化即可。

2 奇（qí）異區域內的優化方法

     2.1 奇異點和奇異區域

      由圖1 可知，當α=0 時，刀軸與轉台台麵垂（chuí）直， C 角取任何值刀軸方向都不會改變，造成自由度丟失。根據式(2)～(3)也可以看到，α=0 時，刀具方向矢量為 (0,0,1)，此時γ = arctan(0 / 0) ，無解，在（zài）Matlab 中規定為0。對於AC 雙轉（zhuǎn）台機床，刀軸方（fāng）向為(0,0,1) 的點就是奇異點。盡管在反運（yùn）動學變（biàn）換過（guò）程中修正了C 角的取值，但（dàn）是如果刀具經過奇異（yì）點附近即（jí）奇異區域時，Δγ 仍然很大，甚至可（kě）能達到π 。刀具（jù）進入奇異（yì）區域後，越接近奇異點，C 角變化越劇烈，由此產生的非線性誤差越顯著，對工件和刀具可能造成的損害也越（yuè）大。需指出的是，刀具經過奇異區域並不一定會經過奇（qí）異點，而經過奇異點就一定是經過了奇異區（qū）域。

      對於奇異區域的（de）範圍，可以采用基於機床雅可比矩陣條（tiáo）件數（shù）的（de）方法來界定：首（shǒu）先根據機床的運動學方程和相鄰點各（gè）軸運動變化（huà）量建立五軸機床雅可比矩陣，然後求解雅（yǎ）可比矩陣的條件數，如果條件數超過給（gěi）定（dìng）值，則可以（yǐ）判定當前加工區間處於奇異區域內[12]。

      2.2 奇（qí）異點（diǎn）及其（qí）附近的C 角處理（lǐ）

      造成奇異（yì）區域內（nèi）非線性誤差過大（dà）的原因一般有（yǒu）兩個：一是因為奇異點處i 和j 均為0，造成C角值不能確定（dìng）；二是因為奇異點前後兩點的i 或（huò）j可能會發生變號造成的。下麵分別就這兩種情況（kuàng）給出處理方法。

      2.2.1 第一種情況

      對於第（dì）一種情況，由於當刀具在奇異點位（wèi）置時，刀軸與轉台台麵垂直，C 角無論取何（hé）值都不會影響該點的刀軸方向，因此可以指定這一點（diǎn）的C 角值。設指定（dìng）後的C 角值為γ ′ ，奇異點前後兩點的C角值分別為1 γ 和2 γ 。設定的C 角值要使1 γ ，γ ′ ， 2 γ波動（dòng）最小，需（xū）要（yào）三者方差最（zuì）小。奇異點處C 角設定方法如下

      這樣，奇異點左（zuǒ）右兩個區間的Δγ 都不超過π/2，過大（dà）的（de）Δγ 有（yǒu）效降低。表2 給出一處奇異點附近的刀位（wèi）數據。表3 是（shì）對應的機床各軸運動坐標數據。

     刀具從第1 點走到第3 點，C 角一共（gòng）變化了π ，但由於第2 點和第1 點之間的Δγ = π ，所（suǒ）以導致這兩點之間的（de）路徑呈現為一個很大的弧。按照上述方（fāng）法對奇異點（diǎn）處C 角進行設定。之後根據設定的角度修改x，y，z 軸的取（qǔ）值。

      表4 給出奇異（yì）點處C 角設定後的機床各（gè）軸運動坐標。

      可知，盡管處理後z 軸方向比原先（xiān）增加了0.3mm 左右的誤差，但是卻（què）使（shǐ）x 軸方向的誤差減小了大約40 mm，y 軸方向（xiàng）的（de）誤差減小（xiǎo）了大約20 mm。整體誤差（chà）大大降低。

     2.2.2 第二種情況

     第二種情況是奇異點（diǎn）附近可能會（huì）存在軸對稱的點，即位置坐標和方向矢量都關於三（sān）維空間某一坐標（biāo）軸對稱。對AC 機床來說，對（duì）稱的兩點z 軸坐（zuò）標總（zǒng）是相同的，因此（cǐ）隻需要研（yán）究Oxy 平麵上（shàng）投影的情況。若方向矢量的投影關於y 軸對稱，則i 絕對值（zhí）相同，符號（hào）相反；若（ruò）方向矢量的投影關於x 軸對稱的兩點，則j 絕對值相同，符號相反。這樣，相（xiàng）鄰兩點的（de）C 角就可能相差超過（guò）π/2 。圖3 所示為一種（zhǒng）奇（qí）異點附近（jìn）的對（duì）稱情況。

     以C 角從第一象限轉到第（dì）二象限為（wéi）例（lì）說明。當i ≥ 0且j>0 時，C 角在第一象限，設此時γ =θ 。若i 不變，j 變號，C角轉到第二象限，此時的（de）γ = π −θ 。C角的變化量Δγ = π −θ −θ = π − 2θ 。當| i |≥| j |時，π/4 ≤θ < π/2 ， 0 < Δγ ≤ π/2 ； 當| i |<| j | 時， 0 <θ < π/4，π/2 < Δγ ≤ π。因此，當C角（jiǎo）從第一象限轉到（dào）第二象限時， 若| i |<| j | ， 令| i′ |=| j′ |= (| i | + | j |) / 2，就可以保（bǎo）證旋轉不超過（guò）π/2 ,其中i′ 和j′ 分（fèn）別表示修改後刀（dāo）軸方向矢量在工件坐（zuò）標係的x 軸和y 軸（zhóu）方向的分量。

      同理可得出其他象限的情況，如表5 所示.

     需要說明（míng）的是，如果兩點不是軸對（duì）稱，而是中（zhōng）心對稱，則上述方法無法將Δγ 控製到π/2以內，這時隻能通過插值法進行處理。

      盡管傾斜刀（dāo）具可以調整C 角，從而（ér）降低非（fēi）線性誤差，但同時也會帶來過切和欠切誤差。下麵（miàn）通過比較二者的誤差大（dà）小來證明傾斜刀軸的有效性。以平底刀為例。設刀具直徑為d，刀具傾斜角為（wéi）δ ，由此產生的過切和欠切誤差為h。

     易知

                                h = d sinδ                        (9)

     設原來（lái）的刀軸（zhóu）方向矢量為a ，修改後的刀軸方向矢量為b ，則sinδ = (| a × b |) /(| a |i| b |) 。由於| a |=| b |=1，所以sinδ =| a × b |。

     令（lìng）| k |= 0.995 0 時刀具進（jìn）入奇（qí）異區域，可知0 ≤| i |≤ 0.099 9，0 ≤| j |≤ 0.099 9 。下麵分析刀具從第（dì）一象限進入第二象限的情況，其他情況同理。當前一點刀軸矢量為(0, 0.099 9, 0.995 0)，後一點刀軸矢量為(0, –0.099 9, 0.995 0)時，Δγ = π，變化量最大。根據上麵方法對前後兩點分別進行修改。前一點為（wéi）(0.05, 0.05, 0.997 5)，後一點為(0.05, –0.05, 0.997 5)。sinα = 0.070 5。若平底刀直徑取6 mm，則過切和欠切誤差（chà）h=0.423 mm。也就是說，對於直徑6 mm 的平底刀，修改刀軸方向引入的最大過切和欠切誤差為0.423 mm，而過大的C 角由π 降到（dào）π/2 ，由此降低（dī）的非（fēi）線性誤差遠大於新引入的過切和欠切（qiē）誤差。因此在奇異點附近傾斜刀軸是有效的（de）。表6 給出（chū）一處奇異點（diǎn）附近的刀位數據。表7 是對應的機床各軸運動坐標。

由表4 可見，由於j 符號發生變化，且| i |<| j |，第2 點和第3 點間的C 角變化超過π/2 。同時看到第1 點（diǎn）與第2 點以及而第3 點與第4 點間的變化很小，因此（cǐ）可以（yǐ）考（kǎo）慮修改第2 點和第（dì）3 點（diǎn）處的刀軸（zhóu）方向，適當增加其他兩個區間的C 角（jiǎo）變化量，來降低奇異點（diǎn）附近的過大C 軸轉動（dòng）8 為修改後的刀位數據。表9 為對應的（de）機床各軸運動坐標。

     圖5 是傾斜刀軸前後的（de）路（lù）徑對比圖。4 個點的C 角方差由修改前的2.484 5 降到1.854 4，波動變小。最大非線性誤差由16.680 8 mm 降到8.810 4mm，平均誤差也由6.075 5 mm 降到4.903 3 mm。使（shǐ）用直徑6 mm 的平底刀，傾斜刀軸（zhóu）所引入的過切和欠切誤差僅為0.106 8 mm。由（yóu）此可（kě）見，整體誤差大大降低（dī）。

     2.3 遞歸插點

     經過以上處理後，大部分Δγ 都降到π/2以下(除非存在中心對稱的刀位點)。如果還需要進一步提高加工精度，則通過插點對加（jiā）工路徑（jìng）進行線性化。

     設相鄰兩個刀位點為（wéi）( w, w ) p′ u′ 和( w, w ) p′′ u′′ 。設實際加工路徑的中點（diǎn）與編程直線的中點之間的距（jù）離（lí）為r 。最大允許誤差為ω 。若r >ω ，在相鄰刀位點中點處插入新的刀位點( pw,uw )，然後檢查( w, w ) p′ u′ 與 ( pw,uw )之間、( pw,uw )與（yǔ）( w, w ) p′′ u′′ 之間的非線性誤差是否超過ω 。如此遞歸進行，直到r ≤ω 。

     插入新（xīn）刀位（wèi）點時將刀具的位姿同（tóng）旋轉軸的轉角結合起來考慮，具體（tǐ）方法如下：設(α0 ,γ 0 ) 和 (α1,γ 1)分別（bié）為刀位點( w, w ) p′ u′ 與( w, w ) p′′ u′′ 所對應的旋轉軸轉角坐標。首先，計算(α0 ,γ 0 )和（hé）(α1,γ 1)的中值對應的方向矢量w u ，然後求（qiú）w ′p 與wp′′的中（zhōng）值pw，最後將pw與uw組（zǔ）成（chéng）新刀位點( pw,uw )。若直（zhí）接令w ( w w ) / 2 p = p′ + p′′ ，再用式(2)和式(3)求解中點處的α 、γ ，則不（bú）能有效降低誤差，原因是奇異區域內（nèi）分量i 和（hé）j 接近0，造成C 角值偏差很大。

     2.4 整體優化流程

     綜上所述，奇異區域的優化處理流（liú）程如圖6 和（hé）圖7 所示。

3 加工試驗

     下麵通過仿真（zhēn）試驗和實際加工對上文給出的算法進行驗（yàn）證。選擇直徑6 mm 的球（qiú）頭刀進行加工。加工曲麵S(u,v)的（de）參數方程如式(10)所示

     式中，u, v 為曲麵方程的參數。表（biǎo）10、11 給出初始刀位點和（hé）初始機床各軸運動坐標。可以看到奇異點附近的兩種情況所（suǒ）導致的C 軸過大偏轉。

     圖（tú）8 所示是所給加工曲麵的Matlab 仿真效果圖。經過對（duì）C 角初步優化後，過大的環形軌跡得到初步控製，再通（tōng）過二次優化和插值（zhí）處（chù）理，得到的路徑（jìng）與理想路徑基本接近。

     實際加工的（de）路徑對比如圖9 所示。圖9a 實線（xiàn）圈出的是（shì）奇異（yì）區域內的（de）過大（dà）環狀軌跡，其中靠下麵的兩個（gè）是（shì）第一種情況，靠上麵（miàn）的兩個是（shì）第二種情況。可以看到，處（chù）理後加工路徑更加平滑，加工精度（dù）大大提高，實際的加（jiā）工情況與理論分析結果一致。需要說明（míng）的是，由於過大環形軌跡會對刀具造成損害，因此未對圖8b 所示的情況進行實際加工。采用直接插點法，需插入737 個點才能將（jiāng）最大非線性誤差降到0.099 8 mm。而（ér）采用綜合方法處理時，新插入點304 個，最大非線性（xìng）誤（wù）差0.098 4 mm，速度是直接插（chā）點法的二（èr）倍。

4 結論

     (1) 本文在對奇異區域內（nèi）五軸加工過程的處理上，根據相鄰點C 角變化量大小，依次進行C 角的初次優化、C 角的二次優化、加工路徑線性化處理。盡管這個過程會引入新（xīn）的（de）過切和欠切誤差（chà），並且（qiě）為了（le）降低某一個區間的過大（dà）誤差（chà）而增加了其他區間的（de）誤差，但是整體的誤差得到了有效控製，同（tóng）時增加的誤差也在允許範圍內。

     (2) 這種處理方（fāng）式既保證了奇異區域內的加工精度，有效地保護了工（gōng）件和（hé）機床部（bù）件，又盡可能地（dì）減少了插點的數量，使奇異區域內（nèi）的加工速度盡量提高。