高速電主（zhǔ）軸滾珠軸承-轉子係統 動態性能分析
2016-8-12 來源： 哈爾濱工業大學 作（zuò）者： 張阿祺
轉軸和支承軸承（chéng）是電主軸係統的核心元件，軸承的支承性能和轉軸的設計參數對係統的動態（tài）性能（néng）影響很大，電主軸轉速（sù）高、功率大，是高速切削技術和高速數控機床的主（zhǔ）體和核心部件之一，很有必（bì）要對軸承的結（jié）構參數和電（diàn）主軸的設計參數進行了解。單純（chún）研（yán）究主（zhǔ）軸轉子或單（dān）純研究軸承都不具有很大的實際意義，需要結合軸承和電主軸轉子為一體，綜合研究係統（tǒng）的動態性能，因此，對電主軸及其支承軸承的關鍵參數需要具體分析。角接觸球軸（zhóu）承的（de）宏觀受力分析是基礎，但是本文還需要對軸承微觀受力分析即（jí）分（fèn）析軸承的內部受力狀態（tài），了（le）解軸承中每一個球滾動體的受力載荷，進而再了解軸承在（zài）外（wài）力作用下的載荷是如何分配的。在靜載（zǎi）荷作用下的軸承，或者是轉速很低的軸承，所受到的慣性力、摩擦力和力矩等不會對球（qiú）滾動體間的載荷分配產（chǎn）生明顯（xiǎn）的影響，因而忽略部分（fèn）微小影響因素來研究靜（jìng）載荷作用下的球（qiú）軸承。
2.1、主（zhǔ）軸（zhóu）及其軸承的幾何結構
如圖 2-1，完整的電主軸係統主要包括：數控係統、潤滑係統、過（guò）濾調壓係統、油氣混合係統、冷（lěng）卻係統、驅動係統和電主軸，本文主要研（yán）究電主軸的（de）動態性（xìng）能。
圖 2-1 完整的電主軸係統
高速電主（zhǔ）軸的軸承布局形式[43]影響著電主軸係統的剛度和動態特性，所（suǒ）以（yǐ）選擇（zé）也要有的放矢，目前主要有兩種結構形式，這是根據主軸的支承軸承和內置（zhì）電機（jī）相對位置的不同來劃分的：
（1）電主軸的內置電機（jī）安裝在主軸轉（zhuǎn）子的後軸承（chéng）之後，也就是在兩個支承軸承（chéng）的外部（bù）。這種結構布（bù）局使得電主軸的軸向尺寸相對較大，對空間要求比（bǐ）較高（gāo），但有利於減（jiǎn）少主軸前（qián）端的徑向尺（chǐ）寸、散熱快[44]，一般應用在小高速數控機床上[45]；
（2）內置電機安（ān）裝在主軸轉子的（de）兩個軸承（chéng）之間（jiān）[46]，如圖 2-2 所示。這種結構具有很多優點（diǎn），現在的很多高速電主軸和高（gāo）速數控機床都采用這種（zhǒng）布局形式[47]。
本文主要研究角接觸球軸承支承的電主軸，角（jiǎo）接觸球軸承不僅具有高（gāo）製造精度、高運轉穩定性（xìng）、高極限轉速而且還擁有很強的承載（zǎi）能力，是能夠高速化的滾動軸承中的（de）最佳選（xuǎn）擇，在加工中心和各類機床得到廣泛（fàn）應（yīng）用。
圖 2-2 高速電主軸模型
圖2-3角接觸球軸承7218的幾何結構及參數
如圖2-4為電（diàn）主（zhǔ）軸的剖麵圖，它包括前支承軸（zhóu）、後支承軸承、定（dìng）子、轉（zhuǎn）子、轉（zhuǎn）承、軸承預緊彈簧、前蓋、後蓋客體等組成。
表 2-1 角接觸球（qiú）軸承 7218 的（de）結構參數
圖 2-4 電主軸剖麵圖
考慮到本文所設計的高速電主軸的前（qián）端軸向尺寸不受限製，所以電（diàn）主軸的結構布局形（xíng）式采用采（cǎi）用第二種結構布局方式，圖 2-2 和圖 2-4 為此布局方式的電（diàn）主軸幾何結構模型和剖麵圖。
本文前半部（bù）分通過使用角接觸球（qiú）軸（zhóu）承 7218 進（jìn）行理論分析（xī），得出結果與相關文獻[48,49]。相比較（jiào）驗證程序的正確性。7218 相關幾何結構和參數見圖 2-3 和表 2-1。
2.2、球軸承支承的電（diàn）主軸設計簡介
滾動（dòng）軸承支承的電（diàn）主軸轉速高、功率大，是（shì）高速切削技術和高速數控機床的主體元件，相比傳統的（de）機（jī）床主（zhǔ）軸，電主軸具有很（hěn）多優點：
（1）傳統（tǒng）電主軸由於齒輪和帶（dài）輪等中間傳動裝置在生產製（zhì）造時存在一定的誤差，同時（shí）在安裝軸承，電（diàn）主軸等部（bù）件（jiàn）時存在安裝誤差，使得在電主軸高（gāo）速（sù）運（yùn）轉時會產生一定的影響，減小了主軸轉子係統的動剛度，增加了軸承和主軸轉子係統的振動響應。使得（dé）機床的零（líng）件（jiàn）加工質量變差，加工（gōng）精度降低。電主軸係統則沒有中間環節，零傳動的電主軸（zhóu）提高了零件的加工精度；
（2）零傳動這（zhè）一突破性的（de）優勢，使得機床（chuáng）在很大程度（dù）上可（kě）以實現高速加（jiā）工，提高生產率和加工精度。電主軸的結（jié）構性能設計（jì）主（zhǔ）要需要確（què）定電主軸的 D，d，a，L 等主要結構參數。
2.2.1 電主軸（zhóu）平均直（zhí）徑D
依照國內（nèi）外的電主軸生產廠家、電主軸研製機構、電主軸軸承研究所等相關部門的技（jì）術規範和參考資料，依據所（suǒ）選（xuǎn）用的電機、軸承和相（xiàng）關的冷卻套（tào）等尺寸參數，再跟據《機械工程（chéng）手冊》、《材料力學》、《機械工程材料》等（děng）相關資料，按以下經驗公式計算（suàn）：
式中P ——提供能（néng）源的傳輸的功率（W）；
T ——轉軸傳遞的額定轉矩（ N m ），9550PTn ；
——轉軸的材料的（de）許（xǔ）用切應力（MPa）；
n ——軸（zhóu）的轉（zhuǎn）速（r/min）；
y——主軸的內直徑與外直徑之比， y d/ D 。
2.2.2 電主軸前端懸置量（liàng） a 的初步選取
電主軸的前懸置量（liàng） a 對主軸的綜合總剛度矩（jǔ）陣、主軸的總體質量矩陣的影響（xiǎng）很大（dà），如果主軸（zhóu）的結構布局和主軸的空間占地大小允許的話，減小主（zhǔ）軸軸端伸長量有點於主軸的（de）剛度的提（tí）升（shēng），應盡可能減（jiǎn）小主軸的軸端伸長量，以提（tí）高主軸的剛度，進而提高電主軸的性能。
2.2.3 主軸支承最佳跨距 L 設 l0為主軸支承（chéng）軸承的最佳支承跨（kuà）距，該跨距（jù）值符合主軸前端最小靜撓度條（tiáo）件，是主軸在剛度、結構性能（néng）和主軸軸向尺寸大小的最佳取舍。
在外載荷（hé） R 作用下電主軸的軸端位移變量為（wéi）：
式中zy ——假設彈性軸承支承時，剛（gāng）性主軸軸端位移（mm）；
sy ——假設剛性軸承支承（chéng）吋，彈性體主軸（zhóu）軸端位移（mm）。
根據材料力學梁的撓度（dù）公式（shì）：
式中E——主軸材料的彈性模量（Mpa）；
I——主軸截麵的平均慣量距（ mm4），當主軸的內孔直徑為 d，平均直徑為 D 時，公式1
由幾何關（guān）係可得：
假設前軸承和（hé）後支（zhī）承的支反力分別為 F1、F2，其對應剛度為 K1、K2，則（zé）對應的變形可表示為：
由力平衡條件可得：
由式（2-2）、（2-3）、（2-4）可得：
2.3、球軸（zhóu）承宏觀幾何關係
2.3.1 靜載荷作用下的支承軸承
根據滾動體和滾道接觸的載荷-位移關係【47】，可（kě）知徑（jìng）向載荷（hé）作用下的角接觸球軸承：
式中（zhōng）δr ——徑向（xiàng）位移（mm）；
dP ——徑向遊隙（xì）（mm）。
若無徑向遊隙時，單列軸承為了保持靜力（lì）平衡，在各個方向上的球滾動體所（suǒ）受力之和與該方向上的作用載荷平衡（héng），此時徑向載荷的離散形式可表示為：
徑（jìng）向載荷的積分（fèn）形式可表（biǎo）示（shì）為：
式中rJ(ε ) ——徑向載荷積（jī）分（fèn）係數。
利用這些積分式（shì）可計算載荷：
如圖 2-6，在推力載荷作用下（xià）的角接觸球軸承會產生變化，產生一個軸向的位移，根據變形幾何關係可得：
由式（2-19）和式（2-20）可得：
圖 2-6 向心球軸承內外圈移動引起的球-滾道接觸
式中 B ——接觸體總曲率， 1o iB = f + f - ；
2.3.2 Hertz 接觸
100 多年前 Hertz 通過簡化和（hé）假設建立了研究兩（liǎng）個彈性（xìng）體的空間接觸理論模型，首次（cì）對接觸（chù）麵附近的彈（dàn）性變形使用準靜（jìng）態（tài）理論，並且應用於兩（liǎng）球形體表麵的接觸中[50]。在分析中，Hertz 提出以下（xià）假設：
（1） 所（suǒ）有變形都在（zài）材料的彈性比例極限範圍內；
（2） 忽略表麵切應力的影響，且載荷垂直於接觸表（biǎo）麵（miàn）；
（3） 接觸區域的曲率（lǜ）半徑遠大於接（jiē）觸區域的尺寸；
（4） 接觸區域的尺寸遠小於接觸體的曲率（lǜ）半徑。
赫茲理論（lùn）為（wéi）堅硬緊湊的物體之間的碰撞提供（gòng）了一個很好的近似值，不過（guò）理論成（chéng）立的條件之（zhī）一是接觸區域比（bǐ）起碰撞體本身非常小。應用此模（mó）型假設，得（dé）到了相對精確的計（jì）算結（jié）果，就（jiù）算（suàn）是現在 Hertz 理論也是計算局部接觸應（yīng）力的主要方法。如圖 2-7，兩（liǎng）個彈性球（qiú）接觸（chù）時接觸區域為橢圓形，圖（tú） 2-8 為球軸承（chéng）幾何關係球滾動體和凹麵體的接觸模型。
說到橢圓就必（bì）須講曲率，曲（qǔ）率在物理上講是用來描述線或麵（miàn）彎曲程度的一個量（liàng），一般取它的絕（jué）對值表示。正負曲率應該是一個相對含義，與法線的取向有關（guān）。一般規定：凹麵的曲率為負值，凸麵的曲（qǔ）率為（wéi）正值。曲率按定義分為曲率和，曲率差，這樣就可以將兩個物體的接觸轉化為一（yī）個等效橢（tuǒ）球體與（yǔ）等效半平麵（miàn）之間的（de）接觸。凹麵（miàn）使接觸體更加貼近，而凸麵正好相反（fǎn）。
接（jiē）觸體的曲率和函數可表示為：
式中1、2——滾動（dòng）體在平麵（miàn） 1 和平麵 2 的曲率半徑；
1、2——內外圈在平麵 1 和（hé）平麵 2 的曲率半徑。
根據赫茲理論模型，軸承滾動體曲率差函數為：
對於球滾動體在平麵 1 和平麵 2 上皆為凸麵：
對外滾道而言（外圈兩個截麵皆為凹麵（miàn））：
所以，球（qiú）滾動體與外圈之間的曲率差函數為：
同（tóng）理，球滾動體與內滾道之間的關係（內圈有一截麵為凸，有一截麵為凹（āo））：
根據 Hertz 理論模型（xíng），曲率差函（hán）數是橢圓參數 a，b 的函數：
對於鋼材接（jiē）觸體（tǐ），其接觸橢圓的長半軸（zhóu）a 和短半軸（zhóu）b 以及接觸體遠控點相對（duì）趨近量分別為：
2.4 球軸承的微觀幾（jǐ）何關係
2.4.1 靜（jìng）載荷作用下軸承內部的變形和位移
如圖 2-9 所示，根（gēn）據幾何變形條件可得內外滾道溝曲率中心的（de）距離為：
圖 2-9 球軸承曲率（lǜ）中心軌跡 圖 2-10 聯合作用（yòng）載荷下內圈的位移
2.4.2 靜態各聯合載荷作用下的（de）軸承位移
靜態載荷作用下由於陀螺力矩和離（lí）心力的影響非常小忽（hū）略不計（jì），所以（yǐ）軸承變形位移不會很複雜。
如圖 2-11 所示，軸向載荷與軸承變形位移的關（guān）係圖中可以看出（chū），在（zài）軸承軸向載荷的作（zuò）用（yòng）下，隨著載荷的增加軸承的軸向位移逐漸增加，呈現正相（xiàng）關（guān）關係（xì），而（ér）軸承的徑向（xiàng）位移和角位移有所減小。在圖 2-12 中，微弱的徑向載荷作用下（xià），軸承的各（gè）個方向的（de）位移（yí）變形量基本沒有變，剛度也基本不變（biàn）。
圖 2-11 軸向載荷（hé）與軸承變形位移關係（xì）
圖 2-12 徑（jìng）向載荷與軸承（chéng）變形位移的關係
2.5、本章小結
本章分析了高速電主軸的幾何結構（gòu）參數及其支撐（chēng）軸承參數為後續電主軸的性能分析（xī）奠定（dìng）了基礎。分析了（le）以角（jiǎo）接（jiē）觸球軸承（chéng）的宏觀幾何形狀模型，再利用軸承的（de）微觀幾何關係和微觀受力（lì）狀態，計算出了（le）軸承應用中的內部載荷及其（qí）關係。但是必須知道（dào）的是（shì），這些方（fāng）法的適用範（fàn）圍仍然是低、中速運轉（zhuǎn）的（de）角接觸（chù）球軸承。在靜載荷（hé）作用下的軸承，或者是轉速很低的（de）軸承，所受到的慣性力、摩擦（cā）力和力矩等不（bú）會對球滾動體間的（de）載荷分配產生明（míng）顯的影響，因而忽略部分微小影響因素來研究靜載荷作用下的球（qiú）軸承。雖然如此，這些計算還是很有必要的，本章得到的數（shù）值可以作為（wéi）下一章節的高（gāo）速（sù）運轉下的球（qiú）軸承（chéng）複雜的數（shù）值計算提供（gòng）初始參考值（zhí），為高速球軸承（chéng）的動力學分析奠定了基礎。
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