摘要：機械臂軌跡規劃（huá）是機器人運動規（guī）劃（huá）領域中至關重要（yào）的經典研究方向（xiàng）之一。隨著（zhe）機器人時代的到來，機械臂在工業製（zhì）造中得到（dào）了廣泛的應（yīng）用，如何更好（hǎo）的利用機械臂的運動性能，獲得運行時間較短或者消耗能量更少（shǎo）的運動軌跡成為人（rén）們關注的重點。
    
       關鍵詞：軌跡（jì）規劃，動為學（xué）模型，時間最優，能量最優

       引言
  
       在諸如先進製造和多機器人控製係統等應用場景中，通常要求機械臂有很高的工作精度和速度。為了滿足這些要求，在機械（xiè）臂上多采用基於先進模（mó）型的控製策略，或者基於輸（shū）入為矩的規劃控製算法。通常情況下，這些先進的規劃控製算（suàn）法都是基於機械臂動力學棋型的，故而需要知道機械臂動為學樸型參數的準確值。
 
      機械臂的動為學模（mó）型表（biǎo）示的是機械臂運動與（yǔ）各關節力矩之間的關係，它描述了包括各關節庫倫摩擦為和枯性摩（mó）擦為在巧的機械臂剛體（tǐ）動力學特性。雖然可１＾乂根據ＣＡＤ模型來估（gū）計機械臂各部分的慣量，但是機械臂製造商通常無（wú）法提供所有部件的ＣＡＤ橫型，並且單個部（bù）件的巧性參數（shù）和組裝後的機械臂整體的憤性（xìng）參數可能（néng）會有一定差異。因（yīn）此（cǐ）通過分解機械臂來測量其（qí）各部分（fèn）的質量（liàng）和巧量是不必要的。
  
      通常通過（guò）參數辨識實驗，來獲得準確的機械臂動為學模型參數的估計值。在進行參數辨識的時候，首先需要知道機械臂的運動學和幾何信息，同（tóng）時還有期望的模型精度。這些輸入信息影響整個辨（biàn）識（shí）流程，其中機械臂的運動學和（hé）幾何信息包含機械臂關節數、關節軸的朝向和連杆長度等，而模型精度要求決（jué）定了將要采用的模型（xíng）類翌和需要在模型中考慮的動力學信息。參數辨識的大體流程如圖２．１所示，首先根據已知機械臂的（de）運動學（xué）和幾何信息，Ｌ乂及模型精度要求確定所要辨識機械臂（bì）的動為學模型；接著設計（jì）進行參數辨（biàn）識所需的（de）激勵軌跡，通過使得機（jī）械臂運行給定的激勵（lì）軌跡，可Ｗ得到一係列測（cè）量數據如關節（jiē）速度、關節為（wéi）矩等（děng）。對這些測（cè）量數據進行去除噪聲的處理，選擇適當（dāng）的參數估計方法得到（dào）估計的機械（xiè）臂動力學模型參數。最後著此組參數能夠（gòu）通過（guò）模型驗證，那麽即（jí）可認為估計的參（cān）數為精確的模型參數，可（kě）用來預測機械臂運動過（guò）程中所需的為矩；若（ruò）此組參（cān）數不（bú）能通過橫型驗證，那麽則需改進（jìn）建立的（de）動為學撰型、優化引言在諸如先進製造（zào）和多機器人控製係統等應用場景（jǐng）中，通（tōng）常要求機械臂有很高（gāo）的工作精度和速度。為了滿足這些要求，在機械臂上多采用基（jī）於先進模型的控製策略，或者基於輸（shū）入為矩的規劃控製算法。通常情況下（xià），這些先進的規劃（huá）控製算法都是基於機械臂動力（lì）學棋型的（de），故而需要知道機械臂動（dòng）為學樸型參數的準確值。
  
      機械臂的動為學模型表示的是機械臂運動與各關節力矩（jǔ）之間的關係，它描述了包括各關節庫倫摩（mó）擦為和（hé）枯性摩擦為在巧的機械臂剛體動力學特性。雖然可１＾乂根據ＣＡＤ模型來（lái）估計（jì）機械臂（bì）各（gè）部分（fèn）的慣量，但是機械臂製造商通常無法提供（gòng）所有部件的ＣＡＤ橫型，並且單個部件的巧性參（cān）數和組（zǔ）裝後的機械臂整體的憤性參數可（kě）能（néng）會有一定差異。因（yīn）此通過分解機械（xiè）臂來測量其各部分的質量和巧量是不必要的。
 
     通常通過參數辨識實驗，來獲得準確的機械（xiè）臂動為學模型參數的估計值。在（zài）進行參數辨識的時候，首先需要知道（dào）機械臂的運動學和幾何信息（xī），同時還有期望的模型精度。這些輸入信（xìn）息影響整個辨識（shí）流程，其中機械臂的運動學和幾何信息包含機械臂關節（jiē）數、關節軸的朝向和連杆長度等，而模型精度要求決定了將要采用的模型類翌和需（xū）要在模型中考慮的動力學信（xìn）息。參數辨識的大體流（liú）程如圖２．１所示，首先根據已知機械臂的運動學和幾何信息，Ｌ乂及模型精度要求確定所要辨識（shí）機械（xiè）臂的動為學模型；接著（zhe）設計進行參數辨識所需的激勵軌跡，通過使得機械臂運行給定的激勵軌跡，可Ｗ得到一係列測量數據如（rú）關節速度、關節為矩等。對這些測量數據進行去除噪聲的處理，選擇適（shì）當的參數估計方法得到估計的機械臂動力學模型參數。最後著此組（zǔ）參數能夠通過模型驗證（zhèng），那麽（me）即可認為估計的參數（shù）為精確的模型參數，可用來預測機械臂（bì）運動過程（chéng）中所需的為矩；若此組參數（shù）不能通過（guò）橫型驗證，那麽則需改進建立的動為學撰型（xíng）、優化設（shè）計的激勵軌跡或者選擇更好的參數估計方法，進而重複之前的辨識過程，直到辨識（shí）的參數能夠通過模型（xíng）驗證。

     
  
        圖２．１動力學模型參（cān）數辨識（shí）框架
 
     本章（zhāng）組織結構如（rú）下：２．２節介紹了（le）基本的機（jī）械臂動力學模型，並將其轉化為易於進行辨識的形式（shì）；２．３節介（jiè）紹了辨識實驗的設計過程；２．４節提出了數據獲取和信（xìn）號處理的常用方法；２．５節提出（chū）了動為學模（mó）型參數估計和模型驗證的常用方法；２．６節對實際的二自由度機械腿進行了動力學模型參數辨識。
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     ２．２模型建立
 
     機械臂動為學模型定義了機械臂運動和各關節驅動器為矩之間的關係，其中機械臂的運動可由各（gè）連（lián）杆的位置、速度和加速度來描述。由於機械臂通常是由一係（xì）列剛體所組成的運動學鏈構成的，故剛體之間的動力學（xué）關係是機械臂動為學模型的基礎。
  
      ２．２．１剛體（tǐ）動為學
 
     根據牛頓－歐（ōu）拉方程或者拉格朗日方法（fǎ）可（kě）Ｗ得到（dào）剛體運動學鏈之間的（de）動為學關係式。用（yòng）這兩種方法得到的動力學橫型是相同的，如公式（２．１）所示
 

 

    這樣一來機械臂的動為學模型對於未知參數０來說就（jiù）是線性（xìng）方程，，聲式（２．巧中，０為廣義參數（shù）向量，連杆的廣義（yì）參數是此連（lián）杆的巧（qiǎo）性參數和其運Ｉ？學鏈中（zhōng）得下方連杆的慣性參數的組合，例如連杆的廣義質量被定義為此（cǐ）連杆（gǎn）的質量加上其（qí）後各連杆的質量（liàng）之和。＾＞稱為觀測矩陣或者辨識矩陣並且它僅依賴於機械臂（bì）的運動狀態，而這（zhè）個性質極（jí）大（dà）的簡化了參數估計過卷。
  
     ２．２．２重為（wéi）補償、動為學精合（hé）和摩擦（cā）力
  
     式（２．１），（２．２）得到的剛體動（dòng）為學模型僅包含受作用連抒的質量和（hé）巧量，然而連杆之間的（de）摩擦為、動為學精合和重力補（bǔ）償器件（如果有的話）對機械臂的動為學特性化有著（zhe）很大的影響。動為學賴合指的是齒輪傳動裝置轉子高速旋（xuán）轉產生的巧（qiǎo）性作用（yòng），重力補償器件指的是預先安（ān）裝在機械臂（bì）第（dì）一連（lián）杆和第二連杆之間的彈榮，是用來補償機械臂腕部及其末端（duān）負載的。動力學精合和重為補償彈（dàn）黃的作用可Ｗ用模型參數的線性表達（dá）式來表示，因此這（zhè）些影響因素可Ｗ在由式（２．巧表示的線性參（cān）數模型結（jié）拘中被表示。 

    雖然摩擦為是一個複雜的非線性（xìng）因素，特別是對於有反轉的運動，但是對於（yú）許多機器人應用來說，我（wǒ）們采用一個（gè）隻包含庫倫摩擦為（wéi）和姑性摩擦為的模型（xíng）也（yě）是（shì）可Ｗ接受的（de），摩（mó）擦力棋型如下所示：
  
     
    
     ２．３辨識實驗（yàn）設（shè）計
  
     在設計參數（shù）辨識實驗的（de）過程中，為了保證所設計的（de）軌遺能在有擾動的情況下產生足夠的激勵，從而可Ｗ得到盡（jìn）可能準確的參數估計結（jié）果，通（tōng）常將（jiāng）整個實驗設計過程分為兩個（gè）晚段（duàn）：選擇（zé）激（jī）勵軌跡參數階段和計算（suàn）激勵軌跡（jì）參數值階段（通（tōng）常通過優化方法得到）。
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     ２．３．１激勵軌跡參數的（de）選捧
  
     機械臂（bì）激勵（lì）軌（guǐ）跡的參數化表示方法有很多種，如采用關節加速度的有限序列、或者在（zài）時間尺度上（shàng）對關節位置（zhì）和關節速度（dù）分別進行５次多項式插（chā）值（zhí）。雖然通過這（zhè）些方法得到的激勵（lì）軌跡可１＾乂提供足夠的機械臂動態激勵，但是得到的測（cè）量數據既不是周期性的也不是有限帶寬的。而在數據（jù）處理階（jiē）段，周期性有（yǒu）帶寬限製的激勵（lì）軌跡數據可Ｗ簡化參數估（gū）計過程，得到更加精確地（dì）估計結果。
 
     所（suǒ）謂（wèi）周期性的有限帶寬方（fāng）法就是令（lìng）毎（měi）個關節的軌跡為周期性的（de），並且可Ｗ被參數化為一個有限的（de）傅裏葉級數，那麽得（dé）到的激勵軌跡就是周期化的（de），有限帶（dài）寬的。通常此激勵軌跡的表現彩式如式（２．４）所（suǒ）示
  
     
  
     通常，在選擇激顏軌跡頻率的範圍［Ｗ／，７Ｖｗ／］時需要進行Ｗ下兩方麵的權衡。一方麵，如果選擇了一個較低的基礎頻率Ｗ／，意味（wèi）著較長的激勵周期，那麽機械臂（bì）就能Ｗ給定的最大速度覆蓋較（jiào）大的機器人（rén）運動空間，但（dàn）是這也會導（dǎo）致（zhì）需要更長的的測量時間。機器人的運動若（ruò）能較好地覆蓋其工（gōng）作空（kōng）間（jiān）有助於獲得更有價值的測量數據從而（ér）獲得（dé）更精確地估計參（cān）數。另一方麵，若選擇一個較（jiào）高的基礎頻率Ｗ／，則在激勵軌跡中包含的高頻部分可（kě）Ｗ產生更大（dà）的加速度，這樣的數據可Ｗ用來精確估計動量和慣量（liàng）的乘積。然（rán）而需要注意的是，最大的激勵軌跡頻率不能超過機器人機械（xiè）結構的最低共振頻（pín）率，因（yīn）為當（dāng）激勵軌跡（jì）的最高（gāo）頻率接近最低共振頻率（lǜ）時會導致機器人結構的不穩定，引發（fā）共振（zhèn）。
  
     ２．３．２激勵軌跡最優化
  
     激勵軌跡參（cān）數值的選取（qǔ）可Ｗ通過試錯的方法來獲取，也可Ｗ束解一個（gè）帶約宋的非線性最優化問題來獲取。
  
     關於激勵軌跡（jì）最優化的目標函數有很多種，其中一種比（bǐ）較流行的的最優化準則為樓型參數估計的協方差矩陣的（de）秩的對數，也稱為ｄ－ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ準則。這個準則衡（héng）量了模型參數估（gū）計的不確定區域的大小。它的計算不依賴於模型參數（假設關節位置、速度和加速度（dù）數據都是沒有噪（zào）聲的），隻（zhī）依賴於激勵軌跡的選取與驅動器為矩測量值中噪聲的訪方差。這個性質在實踐中是很有（yǒu）用（yòng）的因為機器人的最優激勵軌跡的選取不用任何先驗的模型（xíng）參數信息。
  
     同時機械臂上的（de）運動約束不（bú）僅可Ｗ作用在機械臂的關節位置、速（sù）度和加速度上，還可ＬＸ作用在（zài）機械臂末端在笛（dí）卡爾空間中的位置。這（zhè）些約宋保證了機（jī）械臂不會與作業環境中得其它物體發生碰撞，同時也避免了機械臂各連杆之間的碰撞（zhuàng）。
 
     ２．４數據獲取和（hé）信號處埋
  
     將最優機械（xiè）臂激勵軌跡編（biān）程寫入機械（xiè）臂控製器，使機械臂（bì）不斷按照激（jī）勵軌跡進行運動並在這一過程中進行所需數據采集。
  
     機械臂關節位置（zhì）信息可Ｗ通過安裝在（zài）驅動器上的編碼器獲得，雖然測量（liàng）的關節軌跡源於期望軌跡，但是由於機械臂控製器的精度限製，兩者義然是有差（chà）異的，故（gù）在參數估計的時候采用測量的軌跡數據而不是期望軌跡數據。


     激勵軌跡相對於期望激勵軌跡（jì）來說（shuō）必然會含有更多的高次諧波，但是機械臂（bì）控製器是有限帶寬的位置反饋控製器，得到的實際激勵軌跡也（yě）會是有（yǒu）限帶（dài）寬（kuān）的並有著和期望激勵軌跡相同的運動周（zhōu）期。驅動器為矩可Ｗ通過驅（qū）動器電流測量值獲得，其中（zhōng）驅動器電流和力矩的關係可由一（yī）個線性模（mó）型或者高階多項（xiàng）式模型來表（biǎo）示，模型中的（de）參數可由電機廠商提供或者通過一個單獨辨識實驗獲得。
  
    信號處（chù）理階段的目標是為了消除觀測數據中的嗓寅。此階段（duàn）提高了測量力矩和關（guān）節（jiē）數據的信（xìn）噪比，估計（jì）測量噪聲的方差，並且（qiě）基（jī）於各關節位（wèi）置測量值估各關節速度和加速度。
  
     ２．４．１數據平均和嗓聲方差估計
 
     假設（shè）導（dǎo）致參（cān）數估計的不確定（dìng）性和偏移誤（wù）差的測量嗓（sǎng）聲為零均值正態（tài）分布，對於一個給定的（de）數據集，通過采用一個有效的估計方法（如最大似然（rán）估計）可Ｗ避免偏移誤差並且最小化參數辨識的不確（què）定性。
 
     由於測量數據是周期性的，可ＬＸ直摟用求均值的方法來提高信噪比，而不需要用一個低通濾波器。為了估計測量（liàng）的周期性信號的噪（zào）聲等級，我們可Ｗ計算信號刮由齡個采樣周期且每個（gè）采樣周期由７＾個采樣點組成（chéng））的采樣方差：
  
     ｍ｛ｋ）－ｘ｛ｋ）ｆ（２．５）ｍ＝ｌ
 
     其中（zhōng）；Ｃｍ（Ａ；）表（biǎo）示第ｗ個采樣周期中的第＆個（gè）采樣點，壬（Ａ〇表示信號Ｘ的均值，也就（jiù）是：
  
    
  
     ２．４．２關節速度和（hé）關節（jiē）加速度的計算（suàn）
 
     要（yào）想計算式（２．巧中的辨識矩陣（zhèn）李首先（xiān）需要得到各關節速度和加速度的信息，而對測量關節（jiē）位置數據（jù）用數值微分的方式得到各關節速度和加速（sù）度必然會放大測量噪聲，最後導致參數估計的精（jīng）度下降。因此可Ｗ將均值化的關節位置測量值通過傅裏葉變換轉換到頻（pín）域，之後微分求解頻域中的關節速度和加速度（dù），此時要保化關節位置測量值是周期（qī）性有限帶寬的，並（bìng）且采樣頻率至少要是激勵軌（guǐ）跡最高頻率的兩倍Ｗ免（miǎn）信息丟失。接（jiē）著用一個矩形窗口在（zài）頻域中選擇相關（guān）頻（pín）率（lǜ），令所有未被選擇的頻率上的幅值置為０，這樣的頻域窗口也（yě）就起到頻域數據（jù）濾波的作用了。對所選中（zhōng）的（de）頻譜（pǔ）乘一階和二階微分器的頻域響應就可Ｗ分別得到關節速度和加速度（dù）的估計值，也就是對所選頻譜分別乘和－ｗ（Ａ〇２，中Ｗ（巧二（èr）２７Ｔ／ｓ／ｆ，ｆ為信號的采樣（yàng）點個數，＆為在離散傅裏葉變換後所得頻譜中選擇的頻率。最後將所得到的頻域速度頻譜和加速度頻譜通過離散傅裏葉反變換得到時域的各關節速度和加速（sù）度。
  
    
  
     圖２．２表示的是一個周期的測量關節（jiē）位置信號的頻域微分
  
     圍２．２描述了關節（jiē）速度估計的過程。左邊那列表示的是這一過程中各個階段的（de）說明，右邊那列的（de）描述對象是一個單周期的（de）附加額（é）外擾動的正（zhèng）弦信號。首先，通過離散傅裏葉（yè）變換將（jiāng）這個帶噪（zào）聲的正弦信號轉化為頻域表（biǎo）示。然後將這段頻譜用一個窗口進（jìn）行過濾，選擇性的（de）保留所需頻段。對於這個例子來說，此次頻域乘法對應於（yú）選擇了一個頻率，而其他未被選擇的效段都設為零。接

    
  
     一次微分，也就是速度（dù）。此（cǐ）時得到的速度（dù）信號基本上是無噪寅的，因為除了所選擇的頻（pín）段其他頻（pín）段的信號都（dōu）被屏蔽了。
 
     這種（zhǒng）在頻域對數據進（jìn）行處理濾波的方法可Ｗ消除所選頻率之外的噪（zào）聲，得到（dào）更精確（què）地關節位置、速度和加速度信息，但是對於所選擇頻率的信號的噪聲是沒（méi）法消除的。

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     ２．５參數佑計和模型驗證
  
     ２．５．１參數估計
  
     在（zài）選擇參數估計方法時需要從（cóng）辨識（shí）參數精度（dù）和實現的複雜化這兩方麵進行考慮。線性最小二乘參（cān）數估計（Ｌｉｎｅａｒ ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｐａｒａｍｅｔｅｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ）是一種非迭代方法，它采（cǎi）用奇異值分解可（kě）Ｗ—步直接束解估計參（cān）數。然而線性最小二（èr）乘參數估（gū）計方法並沒有區別精確數據和非精確數據，因此會產生有偏（piān）估（gū）計。最（zuì）大似然估計方（fāng）法則可Ｗ在測量數捂存在誤差的情況下得到最小（xiǎo）不確（què）定性的無偏（piān）佑計，參數向量６的最（zuì）大化然估計指（zhǐ）的是找到使（shǐ）得（dé）測量（liàng）值的似然度最大的值（zhí）０，這一準則使得未知模型參數的非凸函數依賴（lài）於所有測量數據嗓聲的協方差。這種非線性最小二乘問題通常是難！  ，因為它需要設定參數的初始（shǐ）值，因此這種方法可能（néng）會收斂到一個局部最優（yōu）解，這個次（cì）優解很可能是有偏的。

    在實際辨（biàn）識過程中我（wǒ）們通過之前提到的（de）信號處理過程得到的關節位置、速度（dù）和加速度數據可（kě）Ｗ認為是無噪的，因此參數辨識矩陣重也可認為是沒有噪聲的，從（cóng）而本文提出帶權重（chóng）的最小二乘佑（yòu）計（jì）方法，實際上最小二乘參數估計方法（fǎ）和（hé）帶權重（chóng）的最小二乘估計方法唯一的區別在於後（hòu）者令驅動器為矩的測量（liàng）値乘Ｗ了（le）其嗓聲的協方差矩陣的逆，這（zhè）樣就可Ｗ對精（jīng）確地測量數據和（hé）不精（jīng）確的測量數據區別對待。
 
      用帶權（quán）重的最小二乘估計方法（fǎ）估計的模型參數０可Ｗ表示為；
  
      
  
     

      ２．５．２模型驗證
  
      模型驗證（zhèng）階段的目的是為了保化辨識的參數能夠滿足機械臂之後（hòu）應用的需求，顯然最恰當的驗（yàn）證試（shì）驗是（shì）在實際應用（yòng）中測試辨識出來的模型參數。然而這種模型驗證方法可能會產（chǎn）生不符（fú）合期望結果從而導致危檢情況的發生，因此模型驗證（zhèng）必須在實際應用之（zhī）前。若模型驗（yàn）證的結（jié）果並不符合（hé）預期的話，那麽就需要考慮整個辨識流程的各部分如何改進，比如說一個新的（de）實驗設計或者一個更加細致的動為學模型。
  
     我們（men）可Ｗ考慮Ｗ下兩種模型驗證方法：基於驅動器（qì）為矩預測準確度的模型驗證和基於參數估計準確度的模型驗證。
 
    （１）驅動器力矩預測準確度
 
     機械臂模型的驅（qū）動（dòng）器為炬預測準確度對於離線編程、任務最優和先進機械臂（bì）控製都有很大的幫助。機械臂的模（mó）型可（kě）Ｗ通過一些期望運動來進行評估，期望運動由一組關節位置、速度和加速度（dù）來描述，從而可Ｗ得到（dào）驅動器為矩的預測力矩。相同的（de）運動經由實際機械臂執行（háng）後，測量得到的驅動器為矩可與（yǔ）預測的為矩作比較。驅動器為（wéi）矩（jǔ）的測量（liàng）值和預測值之間的差值就是預測誤差。
  
      好的模型驗證（zhèng）實驗要求驗證軌跡和激勵軌跡不（bú）同，但是要和實（shí）除應用的軌跡相近（jìn）。例如（rú）機械臂將（jiāng）被用來做巧塗（tú）和激光切割應用的運行軌跡是平滑且連續的，而（ér）用於抓取（qǔ）和焊接應用的機（jī）械臂軌（guǐ）跡則被分為（wéi）許多開始和結束點。
 
      （2）模型參數精確（què）度
 
       另一種可選擇的模型驗證方法（fǎ）是驗證估計參數的精確度，可Ｗ將估計的參數與估計值的（de）置信區間作比較，或者與根據（jù）機械臂各部分的（de）ＣＡＤ模型數據估計出來的參數做（zuò）比較。
 
      基於參數協方差（chà）矩陣（zhèn），可Ｗ得到毎（měi）個模（mó）型參數的置信區間，將辨識（shí）參數（shù）和它們置信區間作比較可！＾乂判斷參數估計的準確（què）度。若（ruò）參數的協方差矩陣無法獲得，那麽也可Ｗ對多（duō）個激勵軌跡重複參數佑計的（de）過程來獲取估計參數的不確定度（dù），之後也可Ｗ計（jì）算模型參數的平均值和和采樣方差，這種（zhǒng）方法比采用置信區間的方法耗時更多但也更可靠。
  
      ２．６實驗與分析
 
      由於本（běn）實驗室的六自由度（dù）工（gōng）業機械臂ＩＲＢ１２０並沒有為用戶開放讀取各關節力矩信息的接口，所Ｗ無法在此工業機械臂上進行動力學棋型參數（shù）辨識。故本節將Ｗ如圖２．３（ａ）所示（shì）的二自由度彈（dàn）性機械腿為目標，根據各關節處彈黃的形變測得運動（dòng）過程中的關節為矩（jǔ）數據，實（shí）踐（jiàn）本章闡述的動（dòng）力學模型參數辨識（shí）流程，辨識（shí）其動為學模型參數，驗證所提出的帶權重（chóng）的最小二（èr）乘參數估計方法的有效性。
 

      
  
       圖２．３（ａ）為二自由度彈性機械腿，（ｂ）為此機械腿的模型示意圖（tú）
 

       ２．６．１棋型建立與激勵軌跡設計
 
       圖（tú）２．３（ｂ）表示的是二自由彈性（xìng）機械腿的棋型示意圖，假設第ｉ號連巧的質（zhì）量為ｍ＜、憤量為ｉｉ、杆長為Ｚｉ、關節Ｚ到連杆ｉ質／公的距離為ａ＜、連杆旋轉的角度為郡麽此機械腿的（de）動為學模型可表示為如下形式（shì）：
  
     
 

      式（shì）（２．１１）表示的二自由（yóu）度機械腿動為（wéi）學（xué）模型可Ｗ很容（róng）易的轉化為形如式（２．巧所示的易於辨識的模型形式。
   
      激勵軌跡如（rú）圖２．４所示，這是一條（tiáo）周期為４ｓ的激勵軌跡。此３階傅立葉級數形式的激勵軌跡共有７個參數，其具體表達式如下；

  
     
  
      在式（２．１巧中可（kě）Ｗ看到二自由度彈性機械腿（tuǐ）第二個關節的規劃角度總是為正，這是由此機械腿（tuǐ）的機械特性決定的，其第二個關節不能（néng）轉動較大的負角（jiǎo）度，但這（zhè）
對（duì）動力學模型參數辨識的影響並不是很大（dà）。
 
      ２．６．２數圖２．７使用帶枚重的最小二（èr）乘方法估計參數得到的各關節預測力矩和實際力（lì）矩的比較
  
      據處理與參數估（gū）計當激勵軌跡在機械腿上運行完畢後，通過各關節上的碼盤可（kě）Ｌ乂測（cè）量關節位（wèi）置數據，由於此機械腿包含（hán）彈性關節，可Ｗ通過測量彈榮形變從而（ér）得到各關節力矩測量值（zhí）。總共的測量時間是（shì）６０ｓ，對應於（yú）２０個周期的（de）激勵軌跡，數據的采樣頻率為ｌＯＯＨｚ。通過將測得數據從時域變換到頻域（如圖（tú）２．５所示），然後（hòu）在頻域對其進（jìn）行高頻濾２．６．３模型驗證為了驗證辨識參數的正確性，我們采用另一種頻率更（gèng）高的（de）軌（guǐ）跡進行測試。
  
      在圖２．８中（zhōng），第一列的兩幅子圖中藍色的曲線表示的（de）是兩個關（guān）節根據規劃出來（lái）的軌（guǐ）跡和得（dé）到（dào）的二自（zì）由度（dù）彈性機械腿動為學模型參數預測（cè）出（chū）來的運動驅動為炬，而紅（hóng）龜曲線表示的是兩（liǎng）個（gè）關節通過測量彈黃形變量得到的實脈驅動為矩。第二列的兩幅（fú）子圖表示的是兩個關節上預測驅動為矩和實際驅動為（wéi）矩的差值，通過計算可Ｗ得到關節為矩的預（yù）測值和測量值之間的誤差在５％Ｗ內，由此可知根據本流程辨（biàn）識（shí）的機器人動為學模型參數是（shì）有一定實用價值的。
  
       波可去除測（cè）量過程中的嗓聲信號。
   
       由於機械（xiè）臂各關節的為矩是由彈爹測量，不（bú）用考慮（lǜ）驅（qū）動器處的摩擦力影響（xiǎng），二自由度機械腿的動力學棋型包含六個需辨識（shí）的參數。根據在機械腿上運行激（jī）勵軌跡時（shí）得到的關節位置和相應的測量（liàng）關（guān）節速度，我們可Ｗ得到辨識矩陣委，而測量力矩Ｔ是由彈黃（huáng）直接得到。那麽通過使（shǐ）用一定的參數估計方法就可Ｗ估計出需要辨（biàn）識（shí）的各個參數。圖（tú）２．６中（zhōng）的（de）各關節預測力矩是由使用采用最小二乘方法進行（háng）參（cān）數估計的模型參數（shù）計算得（dé）到的，其與實（shí）際力矩之間的誤差（chà）在９％左（zuǒ）右。而圖２．７中的各關節預測為矩是由使用采用帶權重的（de）最小二乘方法（fǎ）進行參（cān）數佑計的模型參數計算得到的，其（qí）與實際力矩之（zhī）間的誤差在４％左（zuǒ）右。由此可看到帶權重的最小二乘參數佑計方法的有效性

  
  
     
  
           圖２．４二自由度機械Ｍ動（dòng）力（lì）學模型參數（shù）辨識激勵軌跡
 
  
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           圖２．５機械腿各關節角測（cè）量數據在頻域的表示
  
          
  
           圖２．６使用最小（xiǎo）二乘方法估計參數得（dé）到的各關節預測力矩和（hé）實際力矩的比較

          
  
           圖２．７使用帶枚重的最小二乘方法估計參數得（dé）到的各關節預（yù）測力矩和實際力矩（jǔ）的比較
 
 
 
      最（zuì）後根據帶權重（chóng）的最小二（èr）乘估計得到的二自由度彈性腿的動為學棋型參數為：

  
     
  
      我們（men）可臥看到（dào）最後一巧細合參數麽＋ｍ２此－ａｓ）２辨（biàn）識出來的值為負值，雖（suī）然這一結果（guǒ）並不符合其物理意義，但是這是通過帶權重的最小二乘法（fǎ）擬（nǐ）合出來的最好（hǎo）參數結果。接下來我們會對（duì）這一組模型參數加Ｗ校驗（yàn）。
 

      ２．６．３模型驗證（zhèng）
 
  
      為了驗證辨識參數的正確性，我們采用另（lìng）一種頻（pín）率更高的軌跡進行測試。在圖２．８中，第一列的兩幅子圖（tú）中藍色的曲線表示（shì）的是兩個關節根（gēn）據規劃出來的軌跡和得到的二自由度彈性機械腿動為學模型參數預測出來的（de）運動驅動為炬，而紅龜曲線（xiàn）表示的（de）是兩個關節通過測量彈黃形變量得到的實脈驅動為矩。第二列的（de）兩幅（fú）子圖表示的是兩個關（guān）節上預測驅動為（wéi）矩和實際驅動為矩的差值，通過計算可（kě）Ｗ得到關節為矩的預測值和測量值之間（jiān）的誤差在５％Ｗ內，由（yóu）此可知根據（jù）本流程辨識的（de）機（jī）器人動為學模型參數是有一定實用價（jià）值（zhí）的。

      

         圖２．８動力學模型參數驗證軌跡下的測量力矩和預測力矩
   
      ２.７本章（zhāng）小結
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      本章總結了一種離線動力學模型參數辨識流程，對參數辨識各階段使用的方法做了介紹，重點提出（chū）了Ｌ乂帶權重的最小（xiǎo）二乘（chéng）估計進行模型參數的擬合。最後在工（gōng）業（yè）控（kòng）製技術國家重（chóng）點實驗窒下的實物二自由度彈（dàn）性機械（xiè）臂進行動為學參數進行辨識，驗（yàn）證了本章提出的參數估計方法的有效（xiào）性（xìng）。