在五（wǔ）軸機床的NC 驗證（zhèng）中, 圖形法驗證顯然無法滿足五軸機床的複（fù）雜性, 這是由（yóu）圖（tú）形法驗證方法的（de）簡單性和粗糙性決定的。以（yǐ）布爾運算為特征的實體碰撞和幹（gàn）涉檢驗方法, 隨著實體複雜程（chéng）度的（de）提高, 布爾運算耗費時間和內存的特點也逐漸顯現出來。加工件逐步成型技術可（kě）以（yǐ）很好地仿真材料的切除過程, 但是複雜實體裁剪線段的算（suàn）法實現（xiàn）起來也是困難重（chóng）重。離（lí）散點法矢量切割檢驗方法[ 6, 9] 用法矢量和刀具掃描體求交的方法（fǎ）進行NC 驗證（zhèng）, 此方（fāng）法被認為是進行NC 驗（yàn）證最精確的方法[10] , 對精度檢驗來說還（hái）是不可替代的方法[ 9] , 可以給出定量的精度（dù）信息。該方法的難點有兩個: 一是刀具掃描體的構造和顯示, 二是射線和曲（qǔ）麵的求交算法。本文（wén）就是針對這一NC 驗證算法, 對刀具掃描體構造和顯示問（wèn）題展開研（yán）究。

1　五軸刀具掃描體的運動特點

     現代（dài）數控機床加工複雜零件的（de）過程一般如下: 首先根據零件（jiàn）圖樣及工藝要求等原始條件（jiàn）計算刀位軌跡, 產生刀位原文件, 然後經過後置處理把刀位原文件（jiàn）轉換成指定數控機床能執行的數（shù）控程序, 驅動相（xiàng）應（yīng）的執行機構進行加工。現代的數（shù）控加工過程, 在零件正式加工之前都要進行NC 驗證。NC 驗證主要關心的是刀具（jù）與零件的相對位置關係, 這（zhè）種關係或者直接由NC 程序來約束（shù）, 或者由刀（dāo）位文件進行約束。由於不同的數控係統具有不同的指令集, 由NC程序直接驅動的加工仿真需要（yào）後置處理過（guò）程的配合, 對後置（zhì）處理的（de）研究超（chāo）出了本文的（de）研究範圍, 本文采用刀（dāo）位文件來規定刀具與零件之間的相互關係。刀位文件具（jù）有一定的格（gé）式, 需要一個刀位解釋器對其進（jìn）行處理, 從中提取出用於（yú）加工仿真的刀（dāo）位（wèi）軌跡信息。刀位軌跡信息主要包（bāo）括刀心位置和刀軸方向。五軸機床由於增加了二個擺動軸（zhóu）, 使得刀具的刀軸矢量在加工過程中是（shì）變化的, 如圖1 所示。

2　刀具（jù）掃描體的描述

    刀具掃描體就是刀具在加工過程中沿著加工（gōng）軌跡運動時所（suǒ）掃過的空間幾何實體。有許多文獻介紹過掃描體的生成[1, 2, 11, 12] , 它們的生成方法均建立在微分方程的基礎上,用數學方法求得曲麵包（bāo）絡（luò）麵方程, 因而生成的算法比（bǐ）較複雜, 實（shí）現比較（jiào）困難, 運算速度（dù）較慢。其（qí）中W. P. Wang 和（hé）K. K. Wang 的方法具有代表性[ 1, 2] 。

    本文由五（wǔ）軸刀具掃（sǎo）描體的運動特點出發, 把刀具（jù）掃描體看成是每兩個刀位點之間掃描體的連接, 形成一個完（wán）整的掃描體, 由於在五軸數控加工中, 一般隻采用直線插補,所以這種（zhǒng）假（jiǎ）設是符合經過後置處理後得到的NC 程序運行的實際情況的。由於（yú）在運（yùn）動過程中（zhōng）刀軸矢量是變化的, 刀（dāo）具的各個部位掃過（guò）的表麵並不（bú）是平麵, 球頭刀的刀頭部分掃過的包絡麵也不是標準的柱麵。在兩個連續的刀位點之（zhī）間的包絡麵應該是一個掃描麵, 這個掃描（miáo）麵是由二維的邊界曲線或者直線沿著空間某個方向運動（dòng）形成的, 在這個運動過程中同時伴隨著回轉動作, 所以形成（chéng）的包絡麵形狀頗為複雜。用常規的拚合方法難以（yǐ）滿足造型需要（yào）。

    非（fēi）均勻有理B 樣條( NURBS ) 技（jì）術的出現, 使得無論對標準的解析形（xíng）狀( 如（rú）圓錐曲線、二次曲麵、回轉麵等（děng）) 還（hái）是自由曲線、曲麵都提供了統一的數學表示和（hé）統一的表示參數。這（zhè）解決（jué）了實際應用中大量存在的各種類型曲麵並存, 但是沒（méi）有一個有效表示這些曲麵形狀的統一的數學方（fāng）法的問題。本文以球頭圓柱刀作為研究對象, 刀具在運動中, 球麵（miàn）部分掃過的曲麵可以看作是一個個的直紋麵銜接而成, 這種直紋麵不能用一般的體素造型方法很好的表示, 利用非（fēi）均勻有理B 樣條( NU RBS) 方法可以解（jiě）決這一問題。但是由於構造該直紋麵的邊界曲線是一個半圓, 而NURBS 曲線是由控製點來表達的自由曲線, 從它的表達式（shì）不能簡單地推導半圓弧的表示形式。因此有必要首先研究用NURBS 曲線表示圓弧（hú）的方法, 然後才能得出直紋麵的NURBS 表達式。

3　刀具掃描體（tǐ）構造新方法（fǎ）

    本節首先推導刀具（jù）的球頭部分形成的掃描麵, 該麵是整個掃描體構造中最複（fù）雜的部分, 其它部分可以看成是此部分曲麵的簡化, 可以按照（zhào）此部分曲麵加以（yǐ）推導即可。刀頭部（bù）分掃描（miáo）麵的邊界曲（qǔ）線是半圓弧, 3 次NURBS曲線能簡便地表示（shì）半圓弧, 方法如下:

    定（dìng）理　若（ruò）已（yǐ）知三次有理Bezier 曲線（xiàn）Ci( u) , 其控製頂點及其權分（fèn）別（bié）為Ui , Ui+ 1, Ui+ 2, Ui+ 3; H i , H i+ 1, H i+ 2, H i+ 3。則它可（kě）以用（yòng）三次NURBS 曲線

     由於刀具掃描體可以看成是在三維空間經過掃描所產生, 所以還必須求出掃描後產生的掃描麵方程, 根據五軸機床刀位軌（guǐ）跡驅動的刀（dāo）具掃描體的運動特點, 構造出的掃描麵應（yīng）該是NU RBS 曲麵, 把每二個刀位點（diǎn）之間的運動看成是二維圖形在空（kōng）間沿直線運動（dòng）和（hé）回轉運動的結合。

     已知空間兩點（diǎn）P 0, P1, 連接兩點的直線（xiàn）可表示為

    根據上述NURBS 曲麵定義（yì）以及半圓弧和直線的NU RBS 表示, 我們可以（yǐ）構造出球頭刀具的（de）球頭部分( 球頭也是刀具繞刀（dāo）軸形成的包絡麵, 此點請引起注意) 在三維（wéi）空間掃描形成的掃（sǎo）描體外表麵公（gōng）式（shì）。令

    上式為一條線段的NURBS 表示（shì）式。證明掃描麵是直紋麵（miàn）。刀具掃描體（tǐ）的其餘部分包括: 起始點的刀具原體, 它們是半球（qiú）和圓柱體, 可以用B-rep 來（lái）表示。

3 仿真結（jié）果

    OpenGL 是一（yī）個工業標準（zhǔn）的三維計算機圖形軟件（jiàn）接口（kǒu）, 它的GLU 庫函數提（tí）供了一個NURBS接口（kǒu）, 利用上麵推導出的結果, 結合CAD/ CAM 軟件生成的刀位文件, 我們用VC 編寫（xiě）了一個五軸刀具掃（sǎo）描體的仿真軟（ruǎn）件, 由圖3 中效果可以看出, 刀具掃描體的表麵光滑, 各個（gè）離散的掃描體的銜接連續, 能夠反應真實的刀具掃描體的包絡麵（miàn）。